Problema Monty Hall

Probelma dos aniversários

Quantas pessoas são necessárias em um grupo para que a probabilidade de pelo menos duas delas compartilharem o mesmo aniversário seja maior que 50%?

Porque é esquisito?

• Probabilidades Viés de confirmação: focamos no que confirma nossas expectativas.
• Lógica anecdótica: eventos raros moldam nossa percepção de frequência.
• Pensamento de Curto Prazo Tendemos a exagerar eventos recentes e ignorar tendências de longo prazo.

Introdução à Probabilidade

• Uma função \(\mathcal{P}\), definida na \(\sigma\) \(\mathcal{A}\) de subconjuntos de \(\Omega\),e com valores entre [0,1], édis uma probabilidade se sasisfaz os axiomas de komolgorov:

• P(\(\omega\)) = 1;

• Para todo subconjunto de A \(\in \mathcal{A} \ge\);

• Mara toda sequência de eventos disjuntos \(A_1, A_2, A_3, ... \in \mathcal{A}\) temos que:

Para nós aqui . . .

A probabilidade de um evento ( A ) é definida como a frequência com que esse evento ocorre em relação ao total de possibilidades. Ela é sempre um valor entre 0 e 1, onde:

\[ P(A) = \frac{\text{número de vezes que } A \text{ ocorre}}{\text{número total de casos possíveis}} \]

Por exemplo:

• P(A) = 0: o evento A nunca ocorre.
• P(A) = 1: o evento A ocorre em todos os casos.
• P(A) = 0,5: o evento A ocorre 50% das vezes.

Exemplo

• Probabilidade de 0,1 de uma pessoa ser O-negativo.

• Se eu observar 10, espero encontrar uma pessoa O-negativo

• Isso não significa que eu vou encontrar uma pessoa O-negativo, mas a medida que eu observar mais pessoas, a probabilidade encontrarei cerca de 10% de pessoas O-negativo.

• Não sabemos quais serão essas pessoas, mas temos a estimativa para o grupo.

Distribuição Normal

• Modela eventos contínuos que tendem a se concentrar simetricamente ao redor de uma média (sino).

• Exemplo: Altura, peso …

Distribuição Binomial

• Modela eventos discretos com duas possíveis respostas (sucesso ou fracasso).

• Exemplo: Lançamento de uma moeda (cara ou coroa).

Outros tipos de distribuições

População, Amostra e Métodos de Amostragem

• População: Conjunto total de indivíduos de interesse.
• Amostra: Subconjunto da população usado para realizar inferências.

# Exemplo: Criar uma amostra aleatória simples
populacao <- rnorm(1000, 
                   mean = 70, 
                   sd = 10)


amostra <- sample(populacao, size = 100)
mean(amostra)

[1] 71.84195

Tipos de Amostragem

• Amostragem Aleatória Simples: Todos os indivíduos têm a mesma chance de serem selecionados.

• Amostragem Estratificada: Divide a população em grupos homogêneos e seleciona aleatoriamente indivíduos de cada grupo.

• Amostragem por Conglomerados (Cluster): Divide a população em grupos não homogêneos e seleciona aleatoriamente alguns grupos.

Distribuição Amostral e Erro Padrão

• Distribuição Amostral da média: Distribuição das médias das amostras retiradas de uma população.

• Erro Padrão: Mede a variabilidade da média das amostras.

• Se sei a distribuição, consigo criar um intervalo de confiança.

• Teorema do Limite Central: A distribuição amostral da média se aproxima de uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra aumenta.

Exemplo Binomial

Exemplo fictício

• Um censo no DF nos anos 90:

  • O nível de colesterol médio 190 mg/dL.

  • Ou seja \(C_{DF} \sim N(\mu_{0} = 190, \sigma^2_{0} = 30)\)

Exemplo fictício

Distribuição Amostral da Média

• Não sabemos a distribuição da população, mas sabemos que a distribuição amostral da média é normal.

Intervalo de Confiança

Expressa a incerteza em uma estimativa. Exemplo: “Estamos 95% confiantes de que a média populacional está entre os limites do intervalo.”

• Não é o mesmo que a probabilidade de um evento ocorrer.

Intervalos de Confiança

Se repetirmos o experimento infinitas vezes e calcularmos um IC para cada amostra, 95% desses intervalos incluirão a verdadeira média populacional (\(\mu\)) Ou seja:

• O IC de 95% não diz que a média populacional tem 95% de probabilidade de estar no intervalo calculado a partir de UMA amostra específica. Pelo contrário, a média é fixa (determinística) no modelo frequentista, e o intervalo varia de experimento para experimento. A incerteza está no processo de amostragem, não no parâmetro

Conceito

• O intervalo de confiança (IC) fornece uma faixa de valores dentro da qual acreditamos que um parâmetro populacional está localizado, com uma certa confiança.
• Geralmente usamos um nível de confiança de 95% ou 99%.

[1] 214.2177 225.9774

Qual a intuição do teste de hipótese

• Queremos tirar conclusões sem ter acesso a toda a informação.
  • Nunca terei certeza
  • Qual a chance de, ao acaso, eu ter selecionado justamente as pessoas mais ansiosas?
  • Tirar uma conclusão sabendo essa “incerteza”.

Formulação de um teste de hipótese

• Hipótese Nula (\(H_0\)): É a hipótese inicial, frequentemente assumindo que não há efeito ou diferença significativa.

• Hipótese Alternativa (\(H_1\) ou \(H_a\)): É a hipótese que se quer testar, indicando a presença de um efeito ou diferença significativa.

Como testamos essa hipótese?

• Temos que estabelecer um critério.

• O quanto estamos dispostos a “errar”?

  • Dado que \(H_0\) é verdadeira.

• Nível de significância \(\alpha\)

• \(\alpha=0.05\) é um dos mais comuns.

Nível de significância de 5%.

• Parece uma chance baixa o suficiente?

Tipos de Erro que posso cometer

Para padronizar

\[Z = \frac{(\bar{x} - \mu_{nula})}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)\]

• Para tirar a conclusão

  • Olhar na Tabela
  • Usar algum software

Execute o teste em algum software

• R, STATA, SPSS, Excel , Python…

• Interprete o resultado

    Two-sample z-Test

data:  x and y
z = 7.5568, p-value = 4.13e-14
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 1.300323 2.211040
sample estimates:
mean of x mean of y 
 7.018182  5.262500 

Várias possibilidades …

Teste t de student

• Geralmente não conhecemos a variância populacional (que o teste z pressupõe)
• Paramétrico

Exemplo Teste-t

Exemplo Teste-t

    Welch Two Sample t-test

data:  Idade by sex
t = -3.366, df = 555.9, p-value = 0.0008155
alternative hypothesis: true difference in means between group f and group m is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -5.146353 -1.353368
sample estimates:
mean in group f mean in group m 
       16.19699        19.44685 

Exemplo Teste-t

Teste de Wilcoxon/Mann-Whitney

• Não paramétrico, usa o ranqueamento dos dados
• Costuma ser mais conservador.

Resultado

    Wilcoxon rank sum test with continuity correction

data:  Idade by sex
W = 49677, p-value = 0.06047
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

ANOVA

• Teste de comparação de médias entre 3 ou mais grupos
• Testa se há ao menos uma diferença significativa entre os grupos
• Paramétrico
• Pressuponho normalidade, homocedasticidade, amostas independentes

Exemplo ANOVA

Exemplo ANOVA

             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)    
hospital      2  16958    8479   51.68 <2e-16 ***
Residuals   672 110263     164                   
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
10 observations deleted due to missingness

Tipos de teste pos-hoc

Paramétrico

Testes de associação

• Duas variáveis qualitativas
• Qui-quadrado
  • Limitações quando n esperado < 5
• Fisher
  • Alternativa ao qui-quadrado

Exemplo

• Tabela de contigência

Exemplo

Exemplo

    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  table(dado$sex, dado$fever)
X-squared = 5.2602, df = 1, p-value = 0.02182

Correlação

Exemplo Correlação

Exemplo Correlação

    Kendall's rank correlation tau

data:  dado_raw$age and dado_raw$`wt (kg)`
z = 27.565, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true tau is not equal to 0
sample estimates:
     tau 
0.724547 

Você sabia?

Para aprofundamento

Bibliografia básica:

• bussab Disponível: USP